makalah sifat sifat bangun ruang

BAB I

PENDAHULUAN

Mengapa geometri khususnya bangun ruang diajarkan pada siswa Sekolah Dasar (SD)? Pengetahuan geometri termasuk bangun ruang dapat mengembangkan pemahaman anak terhadap dunia sekitarnya. Bukan hanya kemampuan bangun datar saja, kemampuan tentang bangun ruang pun dapat dikenalkan pada anak usia SD, bahkan pada anak Taman Kanak-Kanak (TK) asalkan dengan pendekatan yang sesuai dengan tahap berpikir mereka.

Geometri dengan bangun ruangnya merupakan pengetahuan dasar yang harus dipelajari siswa. Para siswa diharapkan mengenal konsep titik, garis, bidang, kubus, balok, prisma, kerucut, tabung, bola, dan pengukuran serta konsep bangun ruang lainnya. Para siswa sering menemukan bangun-bangun ruang seperti bentuk ruang kelas, televisi, lemari, stadion, bahkan komputer. Pengetahuan bangun ruang dapat mengembangkan pemahaman anak terhadap dunia sekitarnya.

Perlu pula diketahui, bahwa secara umum setelah kita mempelajari ini diharapkan dapat melaksanakan pembelajaran matematika di SD untuk bangun-bangun ruang dengan pendekatan dan media yang sesuai, serta dapat mengembangkan diri sebagai guru matematika di SD dalam bidang matematika. Untuk menunjang kemampuan-kemampuan tersebut diantaranya diperlukan beberapa kompetensi berikut.

1.      Menjelaskan bidang banyak dan bangun ruang kepada siswa SD dengan menggunakan media yang sesuai

2.      Menjelaskan miskonsepsi yang terjadi pada unsur-unsur ruang

3.      Menjelaskan jaring-jaring bangun ruang kepada siswa SD  dengan menggunakan media yang sesuai

4.      Menggunakan konsep jaring-jaring bangun ruang untuk menyelesaikan masalah dalam matematika atau masalah sehari-hari.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Unsur-Unsur Ruang

1.      Titik

Masih ingatkah tentang beberapa konsep dalam geometri bangun datar seperti titik, ruas garis, sudut, segi tiga, persegi panjang, lingkaran, dan konsep-konsep bangun datar lainnya. Perlu diketahui bahwa dalam mempelajari bangun ruang tentu saja bangun datar adalah prasyaratnya.

Sebagaimana telah diketahui bahwa secara sederhana  dapat didefinisikan bahwa geometri merupakan suatu studi tentang himpunan titik. Pada definisi ini memuat kata yang tidak didefinisikan (non-defined forms), yaitu “titik”. Dalam mempelajari geometri bangun ruang akan ditemukan beberapa kata yang tidak didefinisikan, misalnya titik, garis, bidang, ruang, dan permukaan (surface). Namun walaupun kata atau istilah tersebut tidak didefinisikan, masih bisa dipelajari beberapa sifatnya.

2.      Garis

Selain titik unsur-unsur bangun ruang lainnya adalah garis dan bidang. Sebelum membicarakan garis tentunya masih ingat dengan konsep ruas garis (segment) dan sinar. Ruas garis adalah bagian atau patahan dari sebuah garis, sedangkan jika ruas garis itu diperpanjang terus menerus ke satu arah, maka terjadilah sinar.

 

A         B

 

A         B

Gambar diatas tampak bahwa ruas garis AB jika diperpanjang terus ke kanan, maka terjadilah sinar AB. Titik A disebut titik pangkal sinar. Sinar berpangkal, tetapi tidak berujung. Apabila ruas garis AB diperpanjang terus ke kiri, maka terjadilah BA. Titik pangkal BA adalah titik B.

3.      Bidang

Unsur ruang atau himpunan bagian dari ruang yang menjadi perhatian selanjutnya adalah “bidang”.  Secara intuitif, kita dapat membayangkan suatu bidang sebagai permukaan suatu meja yang sangat rata, atau permukaan suatu lantai, atau permukaan suatu dinding, atau permukaan rata yang lain.

Karena bidang (bidang datar) meluas terus menerus ke segala arah, maka tidak mungkin kita menggambar bidang itu seluruhnya. Biasanya untuk menggambar suatu bidang kita ambil bagian yang berbentuk daerah persegi panjang untuk mewakili bidang tadi.

Dengan pendalaman pemahaman guru tentang unsur-unsur ruang seperti titik, garis dan bidang dapat didiskusikan berbagai kemungkinan letak titik, garis dan bidang. Misalnya bagaimana kemungkinan letak titik dan bidang, letak titik dan garis, letak garis dan bidang, letak dua garis, letak dua bidang, letak tiga bidang, dan sebagainya.

B.     Bidang Banyak dan Bangun Ruang

1.      Bidang banyak (Polihedron)

Segitiga, segiempat, dan segilima adalah contoh-contoh segi banyak, sedangkan lingkaran tentunya bukanlah contoh segi banyak. Sekarang cobalah perhatikan benda-benda disekitar kehidupan seperti batu bata, kaleng mentega, drum minyak tanah, lemari, bola basket, TV, kulkas, dan sejenisnya. Benda semacam ini mempunyai permukaan sebagai pembatasnya. Dalam geometri bangun ruang batas-batas benda seperti itu disebut permukaan tertutup sederhana.

Permukaan tertutup sederhana dalam geometri ruang (tiga dimensi) adalah suatu konsep yang mirip dengan konsep lengkungan tertutup sederhana pada geometri bidang (dua dimensi).

Lengkungan tertutup sederhana membagi bidang (bidang gambar) menjadi tiga bagian lepas, yaitu bagian luar, lengkungan tertutup sederhana sendiri, dan yang ketiga bagian dalamnya. Demikian pula dengan sebuah permukaan tertutup sederhana yang membagi ruang menjadi tiga himpunan titik lepas. Ketiga himpunan titik itu adalah bagian dalam, bagian luar, dan permukaan tutup sederhana itu sendiri. Gabungan dari bagian dalamnya dan permukaan tertutup sederhana dinamakan daerah permukaan tertutup sederhana. Sedangkan sebuah permukaan tertutup sederhana yang terdiri dari daerah-daerah segi banyak (poligon) dinamakan bidang banyak (polyhedron).

2.      Bidang Banyak Beraturan

Bidang banyak ada yang dibatasi oleh satu macam segi banyak saja, tetapi ada pula yang dibatasi oleh beberapa macam segi banyak. Jika pembatasnya hanya terdiri atas satu macam segi banyak beraturan dan kongruen (sama dan sebangun) maka bidang banyak tersebut dinamakan bidang banyak beraturan. Jadi, jelaslah bahwa bidang banyak beraturan adalah bidang banyak yang bidang sisinya berupa satu macam segi banyak beraturan yang kongruen.

Beberapa bidang banyak  beraturan yang sudah dikenal sejak zaman Yunani kuno, diantaranya :

a.       Bidang empat beraturan (tetrahedron)

b.      Bidang enam beraturan (heksahedron)

c.       Bidang delapan beraturan (oktahedron)

d.      Bidang duabelas beraturan (isohedron)

e.       Bidang dua puluh beraturan (dodecahedron)

Mengenai bidang banyak beraturan ini ada seseorang yang bernama Euler yang telah menemukan sifat atau hubungan antara banyak titik sudut (T), banyaknya sisi (S) dan banyaknya rusuk (R) yaitu sebagai berikut :

Bidang n beraturan	T	S	R	hubungan
Bidang 4	4	4	6	4 + 4 = 6 + 2
Bidang 6	6	6	12	6 + 6 = 12 + 2
Bidang 8	8	8	12	8 + 8 = 12 + 2
Bidang 12	20	12	20	20 + 12 = 20 + 2
Bidang 20	12	20	30	12 + 20 = 30 + 2

Kesimpulan: T­ + S = R + 2 (rumus Euler)

3.      Bangun Ruang

Coba perhatikan sebuah kotak misalnya tempat kapur tulis, balon yang sudah ditiup, atau mendiskusikan keberadaan ruangan kelas yang dibatasi oleh empat dinding, lantai dan plafon (langit-langit). Kesemuanya itu merupakan contoh-contoh bangun ruang. Selain itu masih banyak contoh-contoh bangun ruang yang mempunyai nama-nama khusus seperti kubus, balok (nama yang biasa digunakan untuk kotak), limas, prisma, kerucut, tabung, bola, dan sebagainya.

4.      Prisma (Prism)

Salah satu diantara bidang banyak yang penting adalah prisma. Prisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar dan beberapa bidang lain yang berpotongan menurut garis-garis yang sejajar                           

Bila titik sudut yang seletak dihubungkan, maka semua daerah segi empat yang dibentuk oleh semua garis hubung tersebut, dan daerah kedua segi n itu akan membentuk sebuah prisma. Garis-garis hubung itu akan saling sejajar pula. Prisma adalah gabungan semua sisinya dan bagian dalamnya himpunan titik yang kosong. Sedangkan nama prisma ditentukan oleh segi n itu, misalnya prisma sisi tiga, prisma sisi empat, dan seterusnya. Yang cukup penting dari prisma ini adalah prisma sisi empat yang akan kita bicarakan pada bagian mendatang.

Pengelompokan prisma atas letak rusuk tegaknya terhadap alas prisma terbagi menjadi prisma-prisma tegak dan prisma-prisma miring. Salah satu keluarga prisma yang sanagt penting adalah prisma segi empat. Prisma segi empat ada yang alasnya segi empat sembarang dan ada yang alasnya berupa jajargenjang. Prisma yang alasnya berbentuk jajargenjang disebut paralelepipidum atau paralelepipida. Paralelepipida dapat dikelompokkan atas dua jenis, yaitu paralelepipida tegak dan paralelepida miring.

Paralelepida tegak masih bias dikelompokkan atas dua jenis lagi, yang alasnya daerah jajargenjang dan yang alasnya daerah empat persegipanjang. Paralelepida tegak yang alasnya daerah persegi panjang disebut balok. Jika alasnya dari sisi-sisi tegak sebuah balok adalah bujursangkar atau persegi, maka balok disebut sebuah kubus.

5. Limas atau Piramid (pyramid)

Limas ialah suatu benda ruang yang dibatasi oleh sebuah segi banyak dan segitiga-segitiga yang mempunyai titik puncak persekutuan di luar segibanyak tersebut, sedangkan sisi-sisi segi banyak itu merupakan alas-alas segitiga-segitiga itu (definisi). Suatu limas dinamakan limas sisi tiga, sisi empat, sisi lima, dan sebagainya, jika segibanyak itu berupa segitiga, segiempat, segilima, dan sebagainya. Jika alas suatu limas berbentuk segi n yang beraturan, maka dikenal dengan sebutan limas teratur. Limas teratur adalah limas yang bidang alasnya merupakan segi-n beraturan dan proyeksi titik puncak pada bidang alasnya berimpit dengan pusat badang alas (defnisi).

6. Bidang Empat

Limas segitiga dinamakan juga bidang empat, karena dibatasi oleh empat buah bidang. Bidang empat adalah limas yang alasnya berupa segitiga (definisi).

Ada beberapa ketentuan (definisi) yang perlu kita ketahui tentang bidang empat, yaitu :

1.      Bidang empat teratur adalah bidang empat yang keempat bidang batasnya kongruen.

2.      Bidang empat tegak adalah bidang empat yang salah satu rusuknya tegak lurus pada bidang alas.

3.      Bidang empat siku-siku adalah bidang empat yang mempunyai tiga rusuk bertemu pada satu titik sudut saling tegak lurus.

4.      Bidang empat sembarang adalah bidang empat yang tidak termasuk salah satu bidang di atas.

7. Tabung atau Silinder (Cylinder)

Perlu kita ketahui bahwa tidak semua permukaan tertutup sederhana adalah bidang banyak yang bersisi daerah segi banyak. Ada pula permukaan tertutup sederhana yang sisinya lengkung. Beberapa di antaranya yang sering kita jumpai adalah tabung (silinder), kerucut, dan bola.

Benda-benda seperti drum minyak tanah dan kaleng susu merupakan tabung lingkaran tegak. Tabung lingkaran tegak atau kita sebut tabung, permukaannya terdiri dari dua buah lingkaran beserta bagian-bagian dalamnya (daerah lingkaran) dan sebuah sisi lengkung. Kedua daerah lingkaran itu kongruen dan letaknya sejajar lingkaran-lingkaran dan bagian-bagian dalamnya disebut alas-alas tabung.

Pada umumnya tabung terjadi dari dua alas yang berbentuk dua daerah lengkungan sejajar dan kongruen dengan sisi lengkung yang merupakan daerah yang dibatasi kedua lengkungan itu. Jika ruas garis-ruas garis pada sisi lengkung tegak lurus pada alasnya, maka disebut tabung tegak. Sedangkan apabila ruas garis-ruas garis itu miring letaknya pada alas, maka disebut tabung miring.

8. Kerucut (Conic)

Sebuah kerucut terdiri atas dua sisi. Sisi pertama merukan sebuah daerah lengkungan tertutup sederhana yang datar dan disebut sebagai alasnya. Sisi kedua merupakan daerah lengkungan tertututp sederhana yang terjadi karena sebuah titik dihubungkan oleh ruas garis-ruas garis dengan tiap titik di tepi alasnya.

Kerucut atau kerucut lingkaran tegak ialah tempat kedudukan garis-garis yang melalui sebuah titik tetap P dan memotong sebuah lingkaran (N, R) sehingga PN bidang lingkaran (N, R) Titik P disebut titik puncak, langkaran (N, R) dinamakan lingkaran alas dan PN disebut sumbu kerucut. Garis-garis itu disebut garis-garis pelukis (definisi)

9. Bola

Bola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama (R) dari sebuah titik tetap M. Titik M disebut titik pusat dan jarak yang sama atau R disebut jari-jari bola. Di dalam bola dikenal pula istilah tali busur dan garis tengah. Tali busur bola ialah garis hubung dua buah titik sembarang yang terletak pada bola. Sedangkan tali busur yang melalui titk pusat disebut garis tengah bola.

Beberapa istilah yang berkaitan dengan bola, di antaranya :

a.       Bidang singgung pada bola ialah bidang yang hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan bola. Sedangkan titik persekutuannya disebut titik singgung.

b.      Garis singgung pada bola ialah garis yang hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan bola, dan titik persekutuannya disebut titik singgung.

C. Miskonsepsi Pemahaman Unsur-Unsur Ruang

Ada beberapa hal yang perlu kita perhatikan dalam menjelaskan konsep bangun ruang kepada para siswa di SD, sehingga terhindar dari terjadinya miskonsepsi dalam proses pembelajaran itu. Selain itu, perlu pula kita mengetahui beberapa hal yang sering terjadi miskonsepsi dalam pembelajaran bagun-bangun ruang antara lain:

1.      Sering terjadi miskonsepsi dalam memahami konsep sisi dari bangun-bangun ruang. Dalam sebuah permukaan tertutup sederhana, yaitu dalam geometri ruang pengertian sisi adalah sebagai bidang-bidang pembatas. Sisi-sisi tersebut bias berupa daerah-daerah segi banyak (poligon) dan bias pula sisinya lengkung. Bangun-bangun ruang yang sisinya berupa segi banyak seperti prisma, limas, balok, bidang banyak dan sejenisnya, sedangkan bangun-bangun ruang yang sisinya berupa lengkung adalah tabung (silinder), kerucut, dan bola. Namun kenyataannya sering diantaranya kita menyebut sisi dari suatu bangun ruang pada rusuk. Padahal rusuk adalah ruas garis yang merupakan perpotongan dua sisi suatu bangun ruang. Kesalahan ini terjadi disebabkan pengertian sisi dalam geometri bangun datar terbawa ketika membicarakan bangun-bangun ruang.

2.      Miskonsepsi sering pula terjadi ketika memahami konsep kerucut dan tabung. Sebagaimana kita ketahui bahwa kerucut mempunyai dua sisi. Sisi pertamanya adalah daerah lengkungan tertutup sederhana yang disebut alas. Sisi kedua merupakan daerah tertutup sederhana yang terjadi karena sebuah titik dihubungkan oleh ruas garis-ruas garis dengan tiap titik di tepi alasnya.

D. Sifat-Sifat Bangun Ruang

Dalam kehidupan sehari-hari banyak benda yang berebntuk tabung, prisma tegak, dan kerucut.

1.      Tabung

Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi berhadapan dan sejajar, berbentuk lingkaran, dan satu sisi lengkung. Tabung atau silinder tidak mempunyai diagonal sisi dan diagonal ruang. Jari-jari lingkaran adalah jarak dari titik pusat lingkaran ke sisi lengkung, sedangkan diameter lingkaran adalah jarak antara sisi lengkung, dan tinggi tabung adalah jarak antara sisi alas dan sisi atas.

Sifat-sifat tabung :

1)      Memiliki 2 sisi berbentuk lingkaran dan 1 sisi lengkung (selimut tabung).

2)      Memiliki 2 rusuk lengkung dan 3 buah bidang sisi.

3)      Tidak memiliki titik sudut.

2.      Prisma Tegak

Prisma tegak adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi berhadapan dan sejajar yang berbentuk segi-n dan mempunyai n sisi tegak.

Ø  Prisma Tegak Segitiga

Sifat-sifat prisma tegak segitiga :

1)      Memiliki 2 sisi berbentuk segitiga dan 3 sisi berbentuk persegi panjang.

2)      Memiliki 9 rusuk.

3)      Memiliki 6 titik sudut.

Ø  Prisma Tegak Segi Lima

Sifat-sifat prisma tegak segi lima :

1)      Memiliki 2 sisi berbentuk segi lima dan 5 sisi berbentuk persegi panjang.

2)      Memiliki 15 rusuk.

3)      Memiliki 10 titik sudut.

Prisma diberi nama berdasarkan segi-n pada sisi atas dan sisi alas.

3.      Limas

Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sisi alas yang berbentuk segi-n dan n segitiga yang bertemu pada satu titik puncak.

Ø  Limas Segi Empat

Sifat-sifat limas segi empat :

1)      Memiliki 1 sisi berbentuk segi empat dan 4 sisi berbentuk segitiga.

2)      Memiliki 8 rusuk.

3)      Memiliki 5 titik sudut.

4)      Sisi alasnya berbentuk segi empat dan sisi lainnya berbentuk segitiga.

Ø  Limas Segitiga

Sifat-sifat limas segitiga :

1)      Memiliki 4 sisi berbentuk segitiga.

2)      Memiliki 6 rusuk.

3)      Memiliki 4 titik sudut.

Limas diberi nama berdasarkan segi-n pada sisi alas.

4.      Kerucut

Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh satu sisi alas yang berbentuk lingkaran dan satu sisi lengkung. Kerucut mempunyai salah satu cirri khas yaitu garis pelukis. Garis pelukis ialah garis lurus yang menghubungkan titik puncak dengan sisi lengkung (k).

Sifat-sifat Kerucut :

1)      Memiliki 1 sisi alas berbentuk lingkaran dan 1 sisi lengkung (selimut kerucut).

2)      Memiliki 1 rusuk lengkung.

3)      Tidak memiliki titik sudut.

5. Bola

Bola dibatasi oleh suatu bidang lengkung yang jaraknya ke titik pusat selalu sama. Jarak antara pusat bola dan bidang lengkung disebut jari-jari. Tali busur yang melalui pusat bola disebut diameter. Hubungan antara diameter dan jari-jari : d = 2 r.

            Sifat-sifat Bola :

1)      Hanya mempunyai 1 bidang sisi

2)      Tidak mempunyai sudut dan tidak mempunyai rusuk

E. Luas dan Volume Bangun Ruang

     1. Tabung

                            

                        Gambar (a) adalah prisma segiempat beraturan (alasnya persegi), prisma ini disebut juga balok. Gambar (b) adalah prisma segilima beraturan. Adapun gambar (c) adalah prisma segienam beraturan. Jika pada alas prisma, dibentuk segi beraturan secara terus menerus, misalnya segi delapan, segi enambelas, segi tiga puluh dua, dan seterusnya maka alasnya akan menyerupai lingkaran seperti gambar (d) dan bangun ini dinamakan tabung. Dengan demikian, volume tabung dapat dipandang sebagai volume prisma.

Luas selimut tabung = 2

Luas tabung = L alas + L atas + L selimut

                          = ² + ² + 2

                          = 2 ² +  2

                          = 2  (r+t)

Dimana :

L= Luas sisi tabung

r = Jari-jari alas

d= Diameter

t = tinggi

Volume tabung = r²t atau  d²t

            2. Kerucut

Hubungan antara r, t, dan garis pelukis (s) :

·         s = ²

·         t = ²

Keterangan : t = tinggi kerucut

                     r = jari-jari alas kerucut

                     s = garis pelukis

Luas selimut           = πrs

Luas alas                 = πr²

Luas Permukaan kerucut    = Luas alas + Luas Selimut

= π x r² + π x r x s

= π r (r + s)

Volume                   = 1/3 x luas alas x tinggi

                                                = r²t

Apabila kerucut mempunyai diameter alas, maka volumenya =  d²t

3. Bola

Luas bola = 4 r² atau d²

Luas belahan bola padat = Luas setengah bola + Luas lingkaran

                                        = 2 r² + r²

                                        = 3 r²

Volume  Bola = V 2x kerucut

Volume Bola = 4 x V kerucut

                       = 4 x  r²t = r

                       =  x r³

Volume Bola =  r³ atau  d³

Contoh Soal :

Berapa Volume dan Luas bola, jika diketahui jari-jari bola adalah 7 cm ?

Jawab :

Diketahui jari jari bola = 7 cm ; π = 22/7

Volume       = 4/3 π r³

                    =4/3 x 22/7 x (7 cm)³

                          =4/3 x 22 x 49 cm³

                          =1437,33 cm³

Luas            = 4 π r²

                    = 4 x 3,14 x (7)²

                    = 615,44 cm³

            4. Kubus

Panjang rusuk kubus adalah 3 satuan, sehingga V = 3 x 3 x 3 = 27 satuan volume, atau V = r x r x r. Jadi, volume kubus dengan rusuk r adalah V = r x r x r .

5. Limas

Untuk menentukan luas daerah permukaan limas, harus menjumlahkan luas daerah alasnya dengan luas daerah seluruh permukaan sisi tegaknya, sehingga luas permukaan limas tersebut  merupakan luas daerah bidang-bidang sisi limas tersebut. Ini juga tergantung pada bentuk segi banyak yang menjadi alas dan sisi-sisi segitiga limas tersebut.

·         Luas permukaan limas = luas alas + 4 luas sisi tegaknya

·         Volume limas                = 1/3 . luas alas . t

Contoh soal :

Sebuah limas T.PQRS yang alasnya berupa persegi dengan panjang sisi 12 cm, jika tinggi limas 8 cm ,hitunglah!

a. luas permukaan limas ?

b.volume limas ?

                       

a.Diketahui :           s = 12 cm

                                t = 8 cm

   Ditanya                : Luas permukaan limas ?

   Jawab                   : TU = TO² + OU²

                                         =  (8 cm )² + (6 cm)²

                                         =  64 cm² + 36 cm²

                                        = 100 cm²

                                        = 10 cm

Sehingga luas segitiga TQR         = ½ x QR x TU

                                                                        =1/2 x 12 cm x 10 cm

                                                                        = 6 cm x 10 cm

= 60 cm²

L permukaan limas           = L PQRS + 4 ( L segitiga TQR)

= ( PQ x QR ) + 4 (L TQR)  

= (12 cm  x 12 cm) + 4 (60 cm²)

= 144 cm² + 240 cm²

= 384 cm²

b. Volume limas                  = 1/3 x L PQRS x t

                                                            = 1/3 x (12 cm  x 12 cm ) x 8 cm

                                                            = 1/3 x 144 cm² x 8 cm

                                                            = 48 cm²  x 8 cm

= 384 cm³

Jadi luas permukaan limas adalah 312 cm² dan volumenya 192 cm³.

            6. Prisma Tegak Segitiga

                 Perhatikan bangun prisma tegak berikut ini.

Bangun-bangun tersebut dinamakan prisma tegak. Nama bangun prisma tegak ditentukan oleh bentuk alasnya. Jika alasnya berbentuk segitiga maka disebut prisma tegak segitiga. Jika alas segiempat maka dinamakan prisma tegak segiempat, dan
seterusnya. Pada gambar (b), prisma tegak segiempat dinamakan juga balok. Kamu telah mengetahui bahwa volume balok adalah

Bagaimana dengan volume prisma tegak segitiga? Bagaimanakah cara menghitung volume prisma tegak segitiga? Agar kamu dapat menjawabnya, perhatikan peragaan berikut.

Ø  Gambar (a) memperlihatkan balok ABCDEFGH dengan ukuran p; l ; t dibelah menurut bidang BFHD.

Ø  Hasil belahan tersebut berupa dua prisma tegak segitiga yang sama dan sebangun. Alas kedua prisma tersebut berbentuk segitiga.

Ø  Volume prisma segitiga ABDEFH dan BCDFGH sama, yaitu masing-masing setengah dari volume balok. Oleh karena itu,

Jadi, volume prisma tegak segitiga adalah V = L x t. Rumus tersebut berlaku juga untuk setiap prisma lainnya.

 F.  Jaring-jaring Bangun Ruang

             1. Jaring-Jaring Kubus dan Balok

            Dalam kegiatan belajar berikut, kita kembali lagi membicarakan bangun-bangun

ruang seperti kubus, balok, limas, prisma, tabung, dan kerucut. Khusus yang akan kita bicarakan sekarang adalah pembelajaran yang berkaitan dengan jaring-jaringnya.

                        Pada pembahasan awal kita akan bicarakan jarring-jaring kubus dan jaring-jaring balok beserta pembelajarannya. Namun sebelum pembelajaran dimulai terlebih dahulu kita akan mempeajari konsep jaring-jaring itu sendiri. Dengan mudah kita dapat memahami bahwa jika sebuah kubus yang terbuat dari karton diiris menurut rusuk-rusuknya, sehingga terdapat enam daerah bujursangkar (persegi) yang membentuk suatu bangun giometri yang dinamakan jarring-jaring. Untuk lebih jelasnya kita dapat melakukan kegiatan pembelajaran membuka sisi balok (kotak) yang berbentuk kubus dan balok seperti berikut ini.

1. Siapkan bekas tempat makanan, atau kardus kotak kapur, atau kardus bekas tempat sepatu yang berbentuk balok dan kubus serta sebuah gunting.

2. Mintalah pula anak-anak membawa bekas makanan ringan atau kotak bekas kotak lain yang berbentuk kubus dan  balok.

3. Mintalah anak untuk memotong sepanjang sisi tepi kotak sedemikian hingga permukaan kotak mendatar berupa rangkaian enam persegi (bujursangkar).

4. Yang susunannya seperti tampak pada gambar 5.41, dan rangkaian enam persegi panjang yang susunannya seperti tampak pada gambar 5.42.

5. Selanjutnya mintalah anak maju kedepan untuk menjelaskan kepada teman-temannya, mana sisi, bagaimana bentuknya, berapa banyak sisi dari tiap-tiap bangun tersebut.

6. Mintalah anak yang lain untuk menanggapinya. Berikan kesempatan kepada mereka untuk berdiskusi.

 

                       

 

Gambar 5.41

 

Gambar 5.42

Selanjutnya kegiatan pembelajaran membuka sisi kotak yang berbentuk kubus dan balok seperti telah dibahas di atas dapat digunakan sebagai alternatif untuk pembelajaran jaring-jaring kubus dan jaring-jaring balok. Bentuk gambar 5.41 disebut jaring-jaring kubus, sedangkan bangun pada gambar 5.42 disebut jaring-jaring balok.

        Dalam kegiatan di atas, jelas bahwa jaring-jaring kubus merupakan bentuk khusus yang dapat digulung untuk membentuk suatu benda yang berbentuk kubus. Demikian pula dengan jaring-jaring balok dapat digulung kembali menjadi sebuah balok. Kegiatan yang melibatkan pembuatan dan penggunaan jaring-jaring adalah sangat baik untuk membantu anak-anak mengembangkan kemampuan fisualisasi mereka mengenai ruang.

            2. Jaring-Jaring Limas

        Sekarang kita perhatikan kembali bangun ruang yang bernama limas. Pada gambar 5.48 (a) tampak limas T. ABCD yang terbuat dari karton. Kemudian bidang sisi tegak direbahkan kearah luar (poros rotasi terletak pada bidang tegak) limas tersebut diiris menurut TA, TB, TC, dan TD. Senjutnya masing-masing seperti ditunjukkan oleh gambar 5.48(b).

Akhirnya semua bidang tegak terletak pada bidang pemuat alas. Bangun geometri yang kita peroleh merupakan jaring-jaring limas.

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

3. Jaring-Jaring Prisma

                         Proses pembelajaran pembentukan jarring-jaring prisma sebenarnya sudah dimulai sejak pertama kali kita mendiskusikan konsep jarring-jaring, yaitu dalam pembelajaran jarring-jaring dari model kubus dan balok.

                         Misalkan kita akan menunjukkan salah satu bentuk jaring-jaring prisma tegak dengan alas segienam beraturan. Sebaliknya kita dapat pula membuat model bangun ruang dari jarring-jaring tersebut. Misalnya dari jarring-jaring prisma tegak segienam beraturan akan dibangun kembali model bangun ruangnya.

                         Kegiatan pembelajaran membentuk model bangun ruang prisma segienam beraturan dari jarring-jaringnya dilakukan dengan bantuan kertas karton, gunting, dan lem sebagai bahan perekatnya. Caranya dengan melipat dan melekatkan tepi-tepi yang sesuai, dan untuk melekatkannya digunakan tambahan(lidah).

4. Jaring-Jaring Tabung dan Jaring-Jaring Kerucut

                         Selanjutnya kita akan mendiskusikan pelajaran jarring-jaring tabung dan jarring-jaring kerucut. Kegiatan pembelajarannya dilakukan dengan membuka sisi-sisi wadah yang berbentuk tabung dan kerucut, kemudian sediakan pula gunting dan lem sebagai bahan perekat. Sedangkan alternatif kegiatan pembelajarannya dapat dilakukan sebagai berikut.

1.      Mintalah anak membawa bekas tempat makanan ringan yang terbuat dari karton yang terbentuk tabung atau kerucut.

2.      Tak ada salahnya kita mengingatkan kembali unsur-unsur bangun ruang, misalnya mintalah mereka menghitung banyaknya sisi (permukaan), sudut, dan garis tepinya.

3.      Mintalah anak untuk memotong sepanjang sisi tepi wadah sedemikian hingga permukaan wadah tersebut mendatar seperti ditunjukkan pada gambar 5.54 (sisi wadah yang terbentuk tabung) dan gambar 5.55 (sisi wadah yang terbentuk kerucut).

4.      Kemudian mintalah anak atau kelompoknya untuk maju kedepan menjelaskan kepada teman-temannya, bagaimana bentuknya dan mana sisinya, serta berapa banyak sisi dari tiap-tiap bangun tersebut.

5.      Mintalah anak-anak yang lain atau kelompok lain untuk menanggapinya. Apakah meraka setuju dengan yang dikemukakan temannya atau kelompok lainnya. Berikanlah kesempatan kepada mereka untuk berdiskusi dengan bimbingan guru.

                         Kegiatan pembelajaran membuka sisi-sisi wadah yang berbentuk tabung dan kerucut seperti yang telah didiskusikan di atas adalah alternatif proses pembelajaran jarring-jaring tabung (gambar 5.54©) dan jaring-jaring kerucut (gambar 5.55(b)).

                         Selanjutnya, setelah anak memahami jaring-jaring tabung dan jaring-jaring kerucut, anak perlu pula belajar bagaimana membuat model tabung dan model kerucut. Dengan bantuan kertas karton atau kertas yang agak tebal, gunting, dan perekat kita dapat membuat model tabung dan model kerucut melalui tahapan seperti kegiatan pembelajaran membuat model kubus dan model balok di atas. (perhatikan gambar 5.56).

G. Jaring-Jaring Bidang Banyak Beraturan

                         Pembelajaran jaring-jaring bidang banyak beraturan telah kkita lakukan pada kegiatan belajar 1. Karenanya dalam kesempatan sekarang tidak dibahas secara khusus. Anda dapat mempelajari dan mendiskusikan alternatif-alternatif pembelajaran pembentukan jaring-jaring maupun modelnya seperti bangun-bangun ruang yang lainnya.

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Geometri dengan bangun ruangnya merupakan pengetahuan dasar yang harus dipelajari siswa. Para siswa diharapkan mengenal konsep titik, garis, bidang, kubus, balok, prisma, kerucut, tabung, bola, dan pengukuran serta konsep bangun ruang lainnya. Pertimbangan lainnya adalah bangun ruang sangat banyak digunakan dalam kehidupan keseharian siswa.

Pembelajaran pembuatan model-model bangun ruang (kubus, balok, prisma, limas, dan kerucut) dapat dilakukan dengan bantuan kertas karton, gunting, dan perekat. Adapun caranya dengan terlebih dahulu dibuat jarring-jaring dari bangun-bangun ruang tersebut dan dengan melipat dan melekatkan tepi-tepi yang sesuai, maka akan terbentuklah model-model bangun ruang tersebut. Pembelajaran yang melibatkan pembuatan dan penggunaan jarring-jaring adalah sangat baik untuk membantu anak-anak mengembangkan kemampuan visualisasi mereka mengenai ruang.

Dengan bantuan konsep jaring-jaring bangun ruang dapat menyelesaikan masalah-masalah matematika atau masalah sehari-hari yang berkaitan dengan bangun-bangun ruang. Penggunaan konsep jaring-jaring bangun ruang ini dapat dilakukan dalam proses pembelajaran yang melibatkan anak secara langsung mengidentifikasi, mempraktekkan, dan mendiskusikan baik dalam kelompok kecil maupun kelompok besar.  

BAB I

PENDAHULUAN

Mengapa geometri khususnya bangun ruang diajarkan pada siswa Sekolah Dasar (SD)? Pengetahuan geometri termasuk bangun ruang dapat mengembangkan pemahaman anak terhadap dunia sekitarnya. Bukan hanya kemampuan bangun datar saja, kemampuan tentang bangun ruang pun dapat dikenalkan pada anak usia SD, bahkan pada anak Taman Kanak-Kanak (TK) asalkan dengan pendekatan yang sesuai dengan tahap berpikir mereka.

Geometri dengan bangun ruangnya merupakan pengetahuan dasar yang harus dipelajari siswa. Para siswa diharapkan mengenal konsep titik, garis, bidang, kubus, balok, prisma, kerucut, tabung, bola, dan pengukuran serta konsep bangun ruang lainnya. Para siswa sering menemukan bangun-bangun ruang seperti bentuk ruang kelas, televisi, lemari, stadion, bahkan komputer. Pengetahuan bangun ruang dapat mengembangkan pemahaman anak terhadap dunia sekitarnya.

Perlu pula diketahui, bahwa secara umum setelah kita mempelajari ini diharapkan dapat melaksanakan pembelajaran matematika di SD untuk bangun-bangun ruang dengan pendekatan dan media yang sesuai, serta dapat mengembangkan diri sebagai guru matematika di SD dalam bidang matematika. Untuk menunjang kemampuan-kemampuan tersebut diantaranya diperlukan beberapa kompetensi berikut.

1.      Menjelaskan bidang banyak dan bangun ruang kepada siswa SD dengan menggunakan media yang sesuai

2.      Menjelaskan miskonsepsi yang terjadi pada unsur-unsur ruang

3.      Menjelaskan jaring-jaring bangun ruang kepada siswa SD  dengan menggunakan media yang sesuai

4.      Menggunakan konsep jaring-jaring bangun ruang untuk menyelesaikan masalah dalam matematika atau masalah sehari-hari.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Unsur-Unsur Ruang

1.      Titik

Masih ingatkah tentang beberapa konsep dalam geometri bangun datar seperti titik, ruas garis, sudut, segi tiga, persegi panjang, lingkaran, dan konsep-konsep bangun datar lainnya. Perlu diketahui bahwa dalam mempelajari bangun ruang tentu saja bangun datar adalah prasyaratnya.

Sebagaimana telah diketahui bahwa secara sederhana  dapat didefinisikan bahwa geometri merupakan suatu studi tentang himpunan titik. Pada definisi ini memuat kata yang tidak didefinisikan (non-defined forms), yaitu “titik”. Dalam mempelajari geometri bangun ruang akan ditemukan beberapa kata yang tidak didefinisikan, misalnya titik, garis, bidang, ruang, dan permukaan (surface). Namun walaupun kata atau istilah tersebut tidak didefinisikan, masih bisa dipelajari beberapa sifatnya.

2.      Garis

Selain titik unsur-unsur bangun ruang lainnya adalah garis dan bidang. Sebelum membicarakan garis tentunya masih ingat dengan konsep ruas garis (segment) dan sinar. Ruas garis adalah bagian atau patahan dari sebuah garis, sedangkan jika ruas garis itu diperpanjang terus menerus ke satu arah, maka terjadilah sinar.

 

A         B

 

A         B

Gambar diatas tampak bahwa ruas garis AB jika diperpanjang terus ke kanan, maka terjadilah sinar AB. Titik A disebut titik pangkal sinar. Sinar berpangkal, tetapi tidak berujung. Apabila ruas garis AB diperpanjang terus ke kiri, maka terjadilah BA. Titik pangkal BA adalah titik B.

3.      Bidang

Unsur ruang atau himpunan bagian dari ruang yang menjadi perhatian selanjutnya adalah “bidang”.  Secara intuitif, kita dapat membayangkan suatu bidang sebagai permukaan suatu meja yang sangat rata, atau permukaan suatu lantai, atau permukaan suatu dinding, atau permukaan rata yang lain.

Karena bidang (bidang datar) meluas terus menerus ke segala arah, maka tidak mungkin kita menggambar bidang itu seluruhnya. Biasanya untuk menggambar suatu bidang kita ambil bagian yang berbentuk daerah persegi panjang untuk mewakili bidang tadi.

Dengan pendalaman pemahaman guru tentang unsur-unsur ruang seperti titik, garis dan bidang dapat didiskusikan berbagai kemungkinan letak titik, garis dan bidang. Misalnya bagaimana kemungkinan letak titik dan bidang, letak titik dan garis, letak garis dan bidang, letak dua garis, letak dua bidang, letak tiga bidang, dan sebagainya.

B.     Bidang Banyak dan Bangun Ruang

1.      Bidang banyak (Polihedron)

Segitiga, segiempat, dan segilima adalah contoh-contoh segi banyak, sedangkan lingkaran tentunya bukanlah contoh segi banyak. Sekarang cobalah perhatikan benda-benda disekitar kehidupan seperti batu bata, kaleng mentega, drum minyak tanah, lemari, bola basket, TV, kulkas, dan sejenisnya. Benda semacam ini mempunyai permukaan sebagai pembatasnya. Dalam geometri bangun ruang batas-batas benda seperti itu disebut permukaan tertutup sederhana.

Permukaan tertutup sederhana dalam geometri ruang (tiga dimensi) adalah suatu konsep yang mirip dengan konsep lengkungan tertutup sederhana pada geometri bidang (dua dimensi).

Lengkungan tertutup sederhana membagi bidang (bidang gambar) menjadi tiga bagian lepas, yaitu bagian luar, lengkungan tertutup sederhana sendiri, dan yang ketiga bagian dalamnya. Demikian pula dengan sebuah permukaan tertutup sederhana yang membagi ruang menjadi tiga himpunan titik lepas. Ketiga himpunan titik itu adalah bagian dalam, bagian luar, dan permukaan tutup sederhana itu sendiri. Gabungan dari bagian dalamnya dan permukaan tertutup sederhana dinamakan daerah permukaan tertutup sederhana. Sedangkan sebuah permukaan tertutup sederhana yang terdiri dari daerah-daerah segi banyak (poligon) dinamakan bidang banyak (polyhedron).

2.      Bidang Banyak Beraturan

Bidang banyak ada yang dibatasi oleh satu macam segi banyak saja, tetapi ada pula yang dibatasi oleh beberapa macam segi banyak. Jika pembatasnya hanya terdiri atas satu macam segi banyak beraturan dan kongruen (sama dan sebangun) maka bidang banyak tersebut dinamakan bidang banyak beraturan. Jadi, jelaslah bahwa bidang banyak beraturan adalah bidang banyak yang bidang sisinya berupa satu macam segi banyak beraturan yang kongruen.

Beberapa bidang banyak  beraturan yang sudah dikenal sejak zaman Yunani kuno, diantaranya :

a.       Bidang empat beraturan (tetrahedron)

b.      Bidang enam beraturan (heksahedron)

c.       Bidang delapan beraturan (oktahedron)

d.      Bidang duabelas beraturan (isohedron)

e.       Bidang dua puluh beraturan (dodecahedron)

Mengenai bidang banyak beraturan ini ada seseorang yang bernama Euler yang telah menemukan sifat atau hubungan antara banyak titik sudut (T), banyaknya sisi (S) dan banyaknya rusuk (R) yaitu sebagai berikut :

Bidang n beraturan	T	S	R	hubungan
Bidang 4	4	4	6	4 + 4 = 6 + 2
Bidang 6	6	6	12	6 + 6 = 12 + 2
Bidang 8	8	8	12	8 + 8 = 12 + 2
Bidang 12	20	12	20	20 + 12 = 20 + 2
Bidang 20	12	20	30	12 + 20 = 30 + 2

Kesimpulan: T­ + S = R + 2 (rumus Euler)

3.      Bangun Ruang

Coba perhatikan sebuah kotak misalnya tempat kapur tulis, balon yang sudah ditiup, atau mendiskusikan keberadaan ruangan kelas yang dibatasi oleh empat dinding, lantai dan plafon (langit-langit). Kesemuanya itu merupakan contoh-contoh bangun ruang. Selain itu masih banyak contoh-contoh bangun ruang yang mempunyai nama-nama khusus seperti kubus, balok (nama yang biasa digunakan untuk kotak), limas, prisma, kerucut, tabung, bola, dan sebagainya.

4.      Prisma (Prism)

Salah satu diantara bidang banyak yang penting adalah prisma. Prisma adalah bidang banyak yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar dan beberapa bidang lain yang berpotongan menurut garis-garis yang sejajar                           

Bila titik sudut yang seletak dihubungkan, maka semua daerah segi empat yang dibentuk oleh semua garis hubung tersebut, dan daerah kedua segi n itu akan membentuk sebuah prisma. Garis-garis hubung itu akan saling sejajar pula. Prisma adalah gabungan semua sisinya dan bagian dalamnya himpunan titik yang kosong. Sedangkan nama prisma ditentukan oleh segi n itu, misalnya prisma sisi tiga, prisma sisi empat, dan seterusnya. Yang cukup penting dari prisma ini adalah prisma sisi empat yang akan kita bicarakan pada bagian mendatang.

Pengelompokan prisma atas letak rusuk tegaknya terhadap alas prisma terbagi menjadi prisma-prisma tegak dan prisma-prisma miring. Salah satu keluarga prisma yang sanagt penting adalah prisma segi empat. Prisma segi empat ada yang alasnya segi empat sembarang dan ada yang alasnya berupa jajargenjang. Prisma yang alasnya berbentuk jajargenjang disebut paralelepipidum atau paralelepipida. Paralelepipida dapat dikelompokkan atas dua jenis, yaitu paralelepipida tegak dan paralelepida miring.

Paralelepida tegak masih bias dikelompokkan atas dua jenis lagi, yang alasnya daerah jajargenjang dan yang alasnya daerah empat persegipanjang. Paralelepida tegak yang alasnya daerah persegi panjang disebut balok. Jika alasnya dari sisi-sisi tegak sebuah balok adalah bujursangkar atau persegi, maka balok disebut sebuah kubus.

5. Limas atau Piramid (pyramid)

Limas ialah suatu benda ruang yang dibatasi oleh sebuah segi banyak dan segitiga-segitiga yang mempunyai titik puncak persekutuan di luar segibanyak tersebut, sedangkan sisi-sisi segi banyak itu merupakan alas-alas segitiga-segitiga itu (definisi). Suatu limas dinamakan limas sisi tiga, sisi empat, sisi lima, dan sebagainya, jika segibanyak itu berupa segitiga, segiempat, segilima, dan sebagainya. Jika alas suatu limas berbentuk segi n yang beraturan, maka dikenal dengan sebutan limas teratur. Limas teratur adalah limas yang bidang alasnya merupakan segi-n beraturan dan proyeksi titik puncak pada bidang alasnya berimpit dengan pusat badang alas (defnisi).

6. Bidang Empat

Limas segitiga dinamakan juga bidang empat, karena dibatasi oleh empat buah bidang. Bidang empat adalah limas yang alasnya berupa segitiga (definisi).

Ada beberapa ketentuan (definisi) yang perlu kita ketahui tentang bidang empat, yaitu :

1.      Bidang empat teratur adalah bidang empat yang keempat bidang batasnya kongruen.

2.      Bidang empat tegak adalah bidang empat yang salah satu rusuknya tegak lurus pada bidang alas.

3.      Bidang empat siku-siku adalah bidang empat yang mempunyai tiga rusuk bertemu pada satu titik sudut saling tegak lurus.

4.      Bidang empat sembarang adalah bidang empat yang tidak termasuk salah satu bidang di atas.

7. Tabung atau Silinder (Cylinder)

Perlu kita ketahui bahwa tidak semua permukaan tertutup sederhana adalah bidang banyak yang bersisi daerah segi banyak. Ada pula permukaan tertutup sederhana yang sisinya lengkung. Beberapa di antaranya yang sering kita jumpai adalah tabung (silinder), kerucut, dan bola.

Benda-benda seperti drum minyak tanah dan kaleng susu merupakan tabung lingkaran tegak. Tabung lingkaran tegak atau kita sebut tabung, permukaannya terdiri dari dua buah lingkaran beserta bagian-bagian dalamnya (daerah lingkaran) dan sebuah sisi lengkung. Kedua daerah lingkaran itu kongruen dan letaknya sejajar lingkaran-lingkaran dan bagian-bagian dalamnya disebut alas-alas tabung.

Pada umumnya tabung terjadi dari dua alas yang berbentuk dua daerah lengkungan sejajar dan kongruen dengan sisi lengkung yang merupakan daerah yang dibatasi kedua lengkungan itu. Jika ruas garis-ruas garis pada sisi lengkung tegak lurus pada alasnya, maka disebut tabung tegak. Sedangkan apabila ruas garis-ruas garis itu miring letaknya pada alas, maka disebut tabung miring.

8. Kerucut (Conic)

Sebuah kerucut terdiri atas dua sisi. Sisi pertama merukan sebuah daerah lengkungan tertutup sederhana yang datar dan disebut sebagai alasnya. Sisi kedua merupakan daerah lengkungan tertututp sederhana yang terjadi karena sebuah titik dihubungkan oleh ruas garis-ruas garis dengan tiap titik di tepi alasnya.

Kerucut atau kerucut lingkaran tegak ialah tempat kedudukan garis-garis yang melalui sebuah titik tetap P dan memotong sebuah lingkaran (N, R) sehingga PN bidang lingkaran (N, R) Titik P disebut titik puncak, langkaran (N, R) dinamakan lingkaran alas dan PN disebut sumbu kerucut. Garis-garis itu disebut garis-garis pelukis (definisi)

9. Bola

Bola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama (R) dari sebuah titik tetap M. Titik M disebut titik pusat dan jarak yang sama atau R disebut jari-jari bola. Di dalam bola dikenal pula istilah tali busur dan garis tengah. Tali busur bola ialah garis hubung dua buah titik sembarang yang terletak pada bola. Sedangkan tali busur yang melalui titk pusat disebut garis tengah bola.

Beberapa istilah yang berkaitan dengan bola, di antaranya :

a.       Bidang singgung pada bola ialah bidang yang hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan bola. Sedangkan titik persekutuannya disebut titik singgung.

b.      Garis singgung pada bola ialah garis yang hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan bola, dan titik persekutuannya disebut titik singgung.

C. Miskonsepsi Pemahaman Unsur-Unsur Ruang

Ada beberapa hal yang perlu kita perhatikan dalam menjelaskan konsep bangun ruang kepada para siswa di SD, sehingga terhindar dari terjadinya miskonsepsi dalam proses pembelajaran itu. Selain itu, perlu pula kita mengetahui beberapa hal yang sering terjadi miskonsepsi dalam pembelajaran bagun-bangun ruang antara lain:

1.      Sering terjadi miskonsepsi dalam memahami konsep sisi dari bangun-bangun ruang. Dalam sebuah permukaan tertutup sederhana, yaitu dalam geometri ruang pengertian sisi adalah sebagai bidang-bidang pembatas. Sisi-sisi tersebut bias berupa daerah-daerah segi banyak (poligon) dan bias pula sisinya lengkung. Bangun-bangun ruang yang sisinya berupa segi banyak seperti prisma, limas, balok, bidang banyak dan sejenisnya, sedangkan bangun-bangun ruang yang sisinya berupa lengkung adalah tabung (silinder), kerucut, dan bola. Namun kenyataannya sering diantaranya kita menyebut sisi dari suatu bangun ruang pada rusuk. Padahal rusuk adalah ruas garis yang merupakan perpotongan dua sisi suatu bangun ruang. Kesalahan ini terjadi disebabkan pengertian sisi dalam geometri bangun datar terbawa ketika membicarakan bangun-bangun ruang.

2.      Miskonsepsi sering pula terjadi ketika memahami konsep kerucut dan tabung. Sebagaimana kita ketahui bahwa kerucut mempunyai dua sisi. Sisi pertamanya adalah daerah lengkungan tertutup sederhana yang disebut alas. Sisi kedua merupakan daerah tertutup sederhana yang terjadi karena sebuah titik dihubungkan oleh ruas garis-ruas garis dengan tiap titik di tepi alasnya.

D. Sifat-Sifat Bangun Ruang

Dalam kehidupan sehari-hari banyak benda yang berebntuk tabung, prisma tegak, dan kerucut.

1.      Tabung

Tabung adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi berhadapan dan sejajar, berbentuk lingkaran, dan satu sisi lengkung. Tabung atau silinder tidak mempunyai diagonal sisi dan diagonal ruang. Jari-jari lingkaran adalah jarak dari titik pusat lingkaran ke sisi lengkung, sedangkan diameter lingkaran adalah jarak antara sisi lengkung, dan tinggi tabung adalah jarak antara sisi alas dan sisi atas.

Sifat-sifat tabung :

1)      Memiliki 2 sisi berbentuk lingkaran dan 1 sisi lengkung (selimut tabung).

2)      Memiliki 2 rusuk lengkung dan 3 buah bidang sisi.

3)      Tidak memiliki titik sudut.

2.      Prisma Tegak

Prisma tegak adalah bangun ruang yang dibatasi oleh dua sisi berhadapan dan sejajar yang berbentuk segi-n dan mempunyai n sisi tegak.

Ø  Prisma Tegak Segitiga

Sifat-sifat prisma tegak segitiga :

1)      Memiliki 2 sisi berbentuk segitiga dan 3 sisi berbentuk persegi panjang.

2)      Memiliki 9 rusuk.

3)      Memiliki 6 titik sudut.

Ø  Prisma Tegak Segi Lima

Sifat-sifat prisma tegak segi lima :

1)      Memiliki 2 sisi berbentuk segi lima dan 5 sisi berbentuk persegi panjang.

2)      Memiliki 15 rusuk.

3)      Memiliki 10 titik sudut.

Prisma diberi nama berdasarkan segi-n pada sisi atas dan sisi alas.

3.      Limas

Limas adalah bangun ruang yang dibatasi oleh sisi alas yang berbentuk segi-n dan n segitiga yang bertemu pada satu titik puncak.

Ø  Limas Segi Empat

Sifat-sifat limas segi empat :

1)      Memiliki 1 sisi berbentuk segi empat dan 4 sisi berbentuk segitiga.

2)      Memiliki 8 rusuk.

3)      Memiliki 5 titik sudut.

4)      Sisi alasnya berbentuk segi empat dan sisi lainnya berbentuk segitiga.

Ø  Limas Segitiga

Sifat-sifat limas segitiga :

1)      Memiliki 4 sisi berbentuk segitiga.

2)      Memiliki 6 rusuk.

3)      Memiliki 4 titik sudut.

Limas diberi nama berdasarkan segi-n pada sisi alas.

4.      Kerucut

Kerucut adalah bangun ruang yang dibatasi oleh satu sisi alas yang berbentuk lingkaran dan satu sisi lengkung. Kerucut mempunyai salah satu cirri khas yaitu garis pelukis. Garis pelukis ialah garis lurus yang menghubungkan titik puncak dengan sisi lengkung (k).

Sifat-sifat Kerucut :

1)      Memiliki 1 sisi alas berbentuk lingkaran dan 1 sisi lengkung (selimut kerucut).

2)      Memiliki 1 rusuk lengkung.

3)      Tidak memiliki titik sudut.

5. Bola

Bola dibatasi oleh suatu bidang lengkung yang jaraknya ke titik pusat selalu sama. Jarak antara pusat bola dan bidang lengkung disebut jari-jari. Tali busur yang melalui pusat bola disebut diameter. Hubungan antara diameter dan jari-jari : d = 2 r.

            Sifat-sifat Bola :

1)      Hanya mempunyai 1 bidang sisi

2)      Tidak mempunyai sudut dan tidak mempunyai rusuk

E. Luas dan Volume Bangun Ruang

     1. Tabung

                            

                        Gambar (a) adalah prisma segiempat beraturan (alasnya persegi), prisma ini disebut juga balok. Gambar (b) adalah prisma segilima beraturan. Adapun gambar (c) adalah prisma segienam beraturan. Jika pada alas prisma, dibentuk segi beraturan secara terus menerus, misalnya segi delapan, segi enambelas, segi tiga puluh dua, dan seterusnya maka alasnya akan menyerupai lingkaran seperti gambar (d) dan bangun ini dinamakan tabung. Dengan demikian, volume tabung dapat dipandang sebagai volume prisma.

Luas selimut tabung = 2

Luas tabung = L alas + L atas + L selimut

                          = ² + ² + 2

                          = 2 ² +  2

                          = 2  (r+t)

Dimana :

L= Luas sisi tabung

r = Jari-jari alas

d= Diameter

t = tinggi

Volume tabung = r²t atau  d²t

            2. Kerucut

Hubungan antara r, t, dan garis pelukis (s) :

·         s = ²

·         t = ²

Keterangan : t = tinggi kerucut

                     r = jari-jari alas kerucut

                     s = garis pelukis

Luas selimut           = πrs

Luas alas                 = πr²

Luas Permukaan kerucut    = Luas alas + Luas Selimut

= π x r² + π x r x s

= π r (r + s)

Volume                   = 1/3 x luas alas x tinggi

                                                = r²t

Apabila kerucut mempunyai diameter alas, maka volumenya =  d²t

3. Bola

Luas bola = 4 r² atau d²

Luas belahan bola padat = Luas setengah bola + Luas lingkaran

                                        = 2 r² + r²

                                        = 3 r²

Volume  Bola = V 2x kerucut

Volume Bola = 4 x V kerucut

                       = 4 x  r²t = r

                       =  x r³

Volume Bola =  r³ atau  d³

Contoh Soal :

Berapa Volume dan Luas bola, jika diketahui jari-jari bola adalah 7 cm ?

Jawab :

Diketahui jari jari bola = 7 cm ; π = 22/7

Volume       = 4/3 π r³

                    =4/3 x 22/7 x (7 cm)³

                          =4/3 x 22 x 49 cm³

                          =1437,33 cm³

Luas            = 4 π r²

                    = 4 x 3,14 x (7)²

                    = 615,44 cm³

            4. Kubus

Panjang rusuk kubus adalah 3 satuan, sehingga V = 3 x 3 x 3 = 27 satuan volume, atau V = r x r x r. Jadi, volume kubus dengan rusuk r adalah V = r x r x r .

5. Limas

Untuk menentukan luas daerah permukaan limas, harus menjumlahkan luas daerah alasnya dengan luas daerah seluruh permukaan sisi tegaknya, sehingga luas permukaan limas tersebut  merupakan luas daerah bidang-bidang sisi limas tersebut. Ini juga tergantung pada bentuk segi banyak yang menjadi alas dan sisi-sisi segitiga limas tersebut.

·         Luas permukaan limas = luas alas + 4 luas sisi tegaknya

·         Volume limas                = 1/3 . luas alas . t

Contoh soal :

Sebuah limas T.PQRS yang alasnya berupa persegi dengan panjang sisi 12 cm, jika tinggi limas 8 cm ,hitunglah!

a. luas permukaan limas ?

b.volume limas ?

                       

a.Diketahui :           s = 12 cm

                                t = 8 cm

   Ditanya                : Luas permukaan limas ?

   Jawab                   : TU = TO² + OU²

                                         =  (8 cm )² + (6 cm)²

                                         =  64 cm² + 36 cm²

                                        = 100 cm²

                                        = 10 cm

Sehingga luas segitiga TQR         = ½ x QR x TU

                                                                        =1/2 x 12 cm x 10 cm

                                                                        = 6 cm x 10 cm

= 60 cm²

L permukaan limas           = L PQRS + 4 ( L segitiga TQR)

= ( PQ x QR ) + 4 (L TQR)  

= (12 cm  x 12 cm) + 4 (60 cm²)

= 144 cm² + 240 cm²

= 384 cm²

b. Volume limas                  = 1/3 x L PQRS x t

                                                            = 1/3 x (12 cm  x 12 cm ) x 8 cm

                                                            = 1/3 x 144 cm² x 8 cm

                                                            = 48 cm²  x 8 cm

= 384 cm³

Jadi luas permukaan limas adalah 312 cm² dan volumenya 192 cm³.

            6. Prisma Tegak Segitiga

                 Perhatikan bangun prisma tegak berikut ini.

Bangun-bangun tersebut dinamakan prisma tegak. Nama bangun prisma tegak ditentukan oleh bentuk alasnya. Jika alasnya berbentuk segitiga maka disebut prisma tegak segitiga. Jika alas segiempat maka dinamakan prisma tegak segiempat, dan
seterusnya. Pada gambar (b), prisma tegak segiempat dinamakan juga balok. Kamu telah mengetahui bahwa volume balok adalah

Bagaimana dengan volume prisma tegak segitiga? Bagaimanakah cara menghitung volume prisma tegak segitiga? Agar kamu dapat menjawabnya, perhatikan peragaan berikut.

Ø  Gambar (a) memperlihatkan balok ABCDEFGH dengan ukuran p; l ; t dibelah menurut bidang BFHD.

Ø  Hasil belahan tersebut berupa dua prisma tegak segitiga yang sama dan sebangun. Alas kedua prisma tersebut berbentuk segitiga.

Ø  Volume prisma segitiga ABDEFH dan BCDFGH sama, yaitu masing-masing setengah dari volume balok. Oleh karena itu,

Jadi, volume prisma tegak segitiga adalah V = L x t. Rumus tersebut berlaku juga untuk setiap prisma lainnya.

 F.  Jaring-jaring Bangun Ruang

             1. Jaring-Jaring Kubus dan Balok

            Dalam kegiatan belajar berikut, kita kembali lagi membicarakan bangun-bangun

ruang seperti kubus, balok, limas, prisma, tabung, dan kerucut. Khusus yang akan kita bicarakan sekarang adalah pembelajaran yang berkaitan dengan jaring-jaringnya.

                        Pada pembahasan awal kita akan bicarakan jarring-jaring kubus dan jaring-jaring balok beserta pembelajarannya. Namun sebelum pembelajaran dimulai terlebih dahulu kita akan mempeajari konsep jaring-jaring itu sendiri. Dengan mudah kita dapat memahami bahwa jika sebuah kubus yang terbuat dari karton diiris menurut rusuk-rusuknya, sehingga terdapat enam daerah bujursangkar (persegi) yang membentuk suatu bangun giometri yang dinamakan jarring-jaring. Untuk lebih jelasnya kita dapat melakukan kegiatan pembelajaran membuka sisi balok (kotak) yang berbentuk kubus dan balok seperti berikut ini.

1. Siapkan bekas tempat makanan, atau kardus kotak kapur, atau kardus bekas tempat sepatu yang berbentuk balok dan kubus serta sebuah gunting.

2. Mintalah pula anak-anak membawa bekas makanan ringan atau kotak bekas kotak lain yang berbentuk kubus dan  balok.

3. Mintalah anak untuk memotong sepanjang sisi tepi kotak sedemikian hingga permukaan kotak mendatar berupa rangkaian enam persegi (bujursangkar).

4. Yang susunannya seperti tampak pada gambar 5.41, dan rangkaian enam persegi panjang yang susunannya seperti tampak pada gambar 5.42.

5. Selanjutnya mintalah anak maju kedepan untuk menjelaskan kepada teman-temannya, mana sisi, bagaimana bentuknya, berapa banyak sisi dari tiap-tiap bangun tersebut.

6. Mintalah anak yang lain untuk menanggapinya. Berikan kesempatan kepada mereka untuk berdiskusi.

 

                       

 

Gambar 5.41

 

Gambar 5.42

Selanjutnya kegiatan pembelajaran membuka sisi kotak yang berbentuk kubus dan balok seperti telah dibahas di atas dapat digunakan sebagai alternatif untuk pembelajaran jaring-jaring kubus dan jaring-jaring balok. Bentuk gambar 5.41 disebut jaring-jaring kubus, sedangkan bangun pada gambar 5.42 disebut jaring-jaring balok.

        Dalam kegiatan di atas, jelas bahwa jaring-jaring kubus merupakan bentuk khusus yang dapat digulung untuk membentuk suatu benda yang berbentuk kubus. Demikian pula dengan jaring-jaring balok dapat digulung kembali menjadi sebuah balok. Kegiatan yang melibatkan pembuatan dan penggunaan jaring-jaring adalah sangat baik untuk membantu anak-anak mengembangkan kemampuan fisualisasi mereka mengenai ruang.

            2. Jaring-Jaring Limas

        Sekarang kita perhatikan kembali bangun ruang yang bernama limas. Pada gambar 5.48 (a) tampak limas T. ABCD yang terbuat dari karton. Kemudian bidang sisi tegak direbahkan kearah luar (poros rotasi terletak pada bidang tegak) limas tersebut diiris menurut TA, TB, TC, dan TD. Senjutnya masing-masing seperti ditunjukkan oleh gambar 5.48(b).

Akhirnya semua bidang tegak terletak pada bidang pemuat alas. Bangun geometri yang kita peroleh merupakan jaring-jaring limas.

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

3. Jaring-Jaring Prisma

                         Proses pembelajaran pembentukan jarring-jaring prisma sebenarnya sudah dimulai sejak pertama kali kita mendiskusikan konsep jarring-jaring, yaitu dalam pembelajaran jarring-jaring dari model kubus dan balok.

                         Misalkan kita akan menunjukkan salah satu bentuk jaring-jaring prisma tegak dengan alas segienam beraturan. Sebaliknya kita dapat pula membuat model bangun ruang dari jarring-jaring tersebut. Misalnya dari jarring-jaring prisma tegak segienam beraturan akan dibangun kembali model bangun ruangnya.

                         Kegiatan pembelajaran membentuk model bangun ruang prisma segienam beraturan dari jarring-jaringnya dilakukan dengan bantuan kertas karton, gunting, dan lem sebagai bahan perekatnya. Caranya dengan melipat dan melekatkan tepi-tepi yang sesuai, dan untuk melekatkannya digunakan tambahan(lidah).

4. Jaring-Jaring Tabung dan Jaring-Jaring Kerucut

                         Selanjutnya kita akan mendiskusikan pelajaran jarring-jaring tabung dan jarring-jaring kerucut. Kegiatan pembelajarannya dilakukan dengan membuka sisi-sisi wadah yang berbentuk tabung dan kerucut, kemudian sediakan pula gunting dan lem sebagai bahan perekat. Sedangkan alternatif kegiatan pembelajarannya dapat dilakukan sebagai berikut.

1.      Mintalah anak membawa bekas tempat makanan ringan yang terbuat dari karton yang terbentuk tabung atau kerucut.

2.      Tak ada salahnya kita mengingatkan kembali unsur-unsur bangun ruang, misalnya mintalah mereka menghitung banyaknya sisi (permukaan), sudut, dan garis tepinya.

3.      Mintalah anak untuk memotong sepanjang sisi tepi wadah sedemikian hingga permukaan wadah tersebut mendatar seperti ditunjukkan pada gambar 5.54 (sisi wadah yang terbentuk tabung) dan gambar 5.55 (sisi wadah yang terbentuk kerucut).

4.      Kemudian mintalah anak atau kelompoknya untuk maju kedepan menjelaskan kepada teman-temannya, bagaimana bentuknya dan mana sisinya, serta berapa banyak sisi dari tiap-tiap bangun tersebut.

5.      Mintalah anak-anak yang lain atau kelompok lain untuk menanggapinya. Apakah meraka setuju dengan yang dikemukakan temannya atau kelompok lainnya. Berikanlah kesempatan kepada mereka untuk berdiskusi dengan bimbingan guru.

                         Kegiatan pembelajaran membuka sisi-sisi wadah yang berbentuk tabung dan kerucut seperti yang telah didiskusikan di atas adalah alternatif proses pembelajaran jarring-jaring tabung (gambar 5.54©) dan jaring-jaring kerucut (gambar 5.55(b)).

                         Selanjutnya, setelah anak memahami jaring-jaring tabung dan jaring-jaring kerucut, anak perlu pula belajar bagaimana membuat model tabung dan model kerucut. Dengan bantuan kertas karton atau kertas yang agak tebal, gunting, dan perekat kita dapat membuat model tabung dan model kerucut melalui tahapan seperti kegiatan pembelajaran membuat model kubus dan model balok di atas. (perhatikan gambar 5.56).

G. Jaring-Jaring Bidang Banyak Beraturan

                         Pembelajaran jaring-jaring bidang banyak beraturan telah kkita lakukan pada kegiatan belajar 1. Karenanya dalam kesempatan sekarang tidak dibahas secara khusus. Anda dapat mempelajari dan mendiskusikan alternatif-alternatif pembelajaran pembentukan jaring-jaring maupun modelnya seperti bangun-bangun ruang yang lainnya.

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Geometri dengan bangun ruangnya merupakan pengetahuan dasar yang harus dipelajari siswa. Para siswa diharapkan mengenal konsep titik, garis, bidang, kubus, balok, prisma, kerucut, tabung, bola, dan pengukuran serta konsep bangun ruang lainnya. Pertimbangan lainnya adalah bangun ruang sangat banyak digunakan dalam kehidupan keseharian siswa.

Pembelajaran pembuatan model-model bangun ruang (kubus, balok, prisma, limas, dan kerucut) dapat dilakukan dengan bantuan kertas karton, gunting, dan perekat. Adapun caranya dengan terlebih dahulu dibuat jarring-jaring dari bangun-bangun ruang tersebut dan dengan melipat dan melekatkan tepi-tepi yang sesuai, maka akan terbentuklah model-model bangun ruang tersebut. Pembelajaran yang melibatkan pembuatan dan penggunaan jarring-jaring adalah sangat baik untuk membantu anak-anak mengembangkan kemampuan visualisasi mereka mengenai ruang.

Dengan bantuan konsep jaring-jaring bangun ruang dapat menyelesaikan masalah-masalah matematika atau masalah sehari-hari yang berkaitan dengan bangun-bangun ruang. Penggunaan konsep jaring-jaring bangun ruang ini dapat dilakukan dalam proses pembelajaran yang melibatkan anak secara langsung mengidentifikasi, mempraktekkan, dan mendiskusikan baik dalam kelompok kecil maupun kelompok besar.